Для асфальтирования участка длиной 99 м используется два катка. Первый каток был установлен в одном конце участка, другой - в противоположном. Работать они начали одновременно. За первую минуту второй каток прошел 1,5 м, а за каждую последующую - на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Первый ка в каждую минуту проходил 5 м. Через сколько минут оба катка встретились?

Расстояние - есть произведение скорости движения и времени, затраченного на путь.

Скорость сближения - сумма скоростей катков.

Пусть t - время, спустя которое катки встретились.

Расстояние, пройденное вторым катком, равно 5 * t.

Расстояние, пройденное первым катком, равно сумме первых t членов арифметической прогрессии, первый член которой - 1,5, шаг прогрессии равен 0,5.

Напишем формулы для нахождения t-го члена и суммы первых t членов прогрессии:

at = a1 + d * (t - 1);

at = 1,5 + 0,5 * (t - 1);

at = 0,5 * t + 1;

St = (a1 + at) * t/2 = (1,5 + 0,5 * t + 1) * t/2 = (0,5 * t + 2,5) * 0,5 * t;

Получим:

5 * t + 0,25 * t^2 + 1,25 * t = 99;

20 * t + t^2 + 5 * t - 396 = 0;

t^2 + 25 * t - 396 = 0;

t1 = - 36;

t2 = 11 минут - время, спустя которое встретились два катка.