Определите наименьшее значение суммы |x|+|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|.

1. Обозначим:

x + 2 = y.

Тогда:

x = y - 2; x + 1 = y - 1; x + 3 = y + 1; x + 4 = y + 2; S = |x| + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|; S = |y - 2| + |y - 1| + |y| + |y + 1| + |y + 2|.

2. Сумма выражений |y - 2| и |y + 2| равна сумме расстояний точки 'y' от точек - 2 и 2. Наименьшее значение этой суммы равно расстоянию между этими точками:

2 - (-2) = 4,

и достигается при условии:

-2 ≤ y ≤ 2.

3. Аналогично, наименьшее значение |y - 1| + |y + 1| равно:

1 - (-1) = 2,

и достигается при условии:

-1 ≤ y ≤ 1.

4. А |y| принимает наименьшее значение при y = 0:

|0| = 0.

5. Следовательно, наименьшее значение S достигается при y = 0:

Smin = |0 - 2| + |0 - 1| + |0| + |0 + 1| + |0 + 2| = 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6.

Ответ: 6.