1. Разложить многочлен на множители: а) а4 - 18 а2 + 81; б) а5 + а3 - а2 - 1; в) а5 + 3 а4 - 4 а3 - 12 а2; г) а4 + 2 а3 - 2 а - 1; д) а4 + а2 + 1. 2. Решить уравнение разложением на множители: а) 9 х3 - 18 х2 = х - 2; б) у3 - у2 = у - 1; в) х3 - 3 х2 - 3 х + 1 = 0; г) х4 - 2 х3 + 2 х - 1 = 0; д) х5 + 5 х3 - 6 х2 = 0.

1.

а) а4 - 18 а2 + 81;

Можно вынести общий множитель за скобки:

(а2 - 9) ^ 2 = (а2 - 9) * (а2 - 9).

б) а5 + а3 - а2 - 1;

Выносим общий множитель за скобки:

а2 * (а3 - 1) + а3 - 1 = (а3 - 1) * а2 + 1).

в) а5 + 3 а4 - 4 а3 - 12 а2;

Выносим общий множитель за скобки:

а4 * (а + 3) - 3 а2 * (а + 3) = (а + 3) * (4 а - 3 а2).

г) а4 + 2 а3 - 2 а - 1;

Выносим общий множитель за скобки:

(а2 + 1) * а2 - 1) + 2 а * (а2 - 1) = (а2 - 1) * (а2 + 1 + 2 а).

д) а4 + а2 + 1;

Выносим общий множитель за скобки:

а4 + 2 а2 + 1 - а2 = (а2 + 1) ^2 - а2 = (а2 - а + 1) * (а2 + а + 1).

2.

а) 9 х3 - 18 х2 = х - 2;

9x2 * (x-2) - (x - 2) = 0;

(x - 2) * (9x2 - 1) = 0;

(x - 2) * (3x - 1) * (3x + 1) = 0;

x - 2 = 0; 3x - 1 = 0; 3x + 1 = 0;

x = 2; x = 1/3; x = - 1/3.

б) у3 - у2 = у - 1;

у2 * (y - 1) - (y - 1) = 0;

(y - 1) * (y2 - 1) = 0;

(y - 1) * (y - 1) * (y + 1) = 0;

y - 1 = 0 y + 1 = 0;

y = 1 y = - 1.

в) х3 - 3 х2 - 3 х + 1 = 0;

х3 + 1 - 3 х * (x + 1) = 0;

(x + 1) * (x2 - x + 1) - 3x * (x + 1) = 0;

(x + 1) * (x2 - x + 1 - 3x) = 0;

(x + 1) * (x2 - 4x + 1) = 0;

x + 1 = 0 x2 - 4x + 1 = 0;

x = - 1 D = 16 - 4 * 1 = 12;

x = - 1 x = 2 ± √ 3.

г) х4 - 2 х3 + 2 х - 1 = 0;

x4 - 1 - 2x * (x2 - 1) = 0;

(x2 - 1) * (x2 + 1) - 2x * (x2 - 1) = 0;

(x2 - 1) * (x2 + 1 - 2x) = 0;

x2 - 1 = 0 x2 - 2x + 1 = 0;

(x - 1) * (x + 1) = 0 D = 4 - 4 * 1 = 0;

x = ± 1 x = - b / 2a = 1.

д) х5 + 5 х3 - 6 х2 = 0;

x2 * (x3 + 5x - 6) = 0;

x2 = 0 | x3 + 5x - 6 = 0;

x = 0 | x3 - 1 + 5x - 5 = 0;

x = 0 | (x - 1) * (x2 + x + 1) + 5 * (x - 1) = 0;

x = 0 | (x - 1) * (x2 + x + 6) = 0;

x = 0 | x - 1 = 0 | x2 + x + 6 = 0;

x = 0 | x = 1 | D = 1 - 4 * 6 = - 23 - нет корней.