Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 14. произведение второго и четвертого равна 45. найти 6 член этой последовательности.

Решение:

По условию a₁ + a₅ = 14 и a₂ · a₄ = 45, выразим эти члены прогрессии через a₁:

a₅ = a₁ + 4d;

a₂ = a₁ + d;

a₄ = a₁ + 3d.

Подставляем в исходные равенства:

a₁ + a₁ + 4d = 2a₁ + 4d = 14;

(a₁ + d) · (a₁ + 3d) = 45.

Разделим обе части равенства 2a₁ + 4d = 14 на 2 и выразим a₁:

a₁ = 7 - 2d.

Подставим во второе уравнение:

(7 - 2d + d) · (7 - 2d + 3d) = 45;

(7 - d) · (7 + d) = 45;

49 - d² = 45;

d² = 4.

Два варианта решения задачи.

1 вариант: d = 2;

a₁ = 7 - 2·2 = 3;

a₆ = a₁ + 5d = 3 + 5·2 = 13.

2 вариант: d = 2;

a₁ = 7 - 2· ( - 2) = 11;

a₆ = 11 + 5· ( - 2) = 1.

Ответ: a₆ = 1; 13.