Найти критические точки функции f (x) = x^3 - 27x на промежутке [-1; 4]

1. Вычислим производную функции и найдем критические точки:

f (x) = x^3 - 27x; f' (x) = 3x^2 - 27; f' (x) = 0; 3x^2 - 27 = 0; 3x^2 = 27; x^2 = 27/3; x^2 = 9; x = ±3.

2. Промежутки монотонности и точки экстремума функции:

a) x ∈ (-∞; - 3), f' (x) > 0; b) x ∈ (-3; 3), f' (x) <0; c) x ∈ (3; ∞), f' (x) > 0. В точке x = - 3 функция от возрастания переходит к убыванию - точка максимума; В точке x = 3 функция от убывания переходит к возрастанию - точка минимума.

3. Функция имеет две критические точки x = - 3 и x = 3, а заданному промежутку [-1; 4] принадлежит только одна из них: x = 3.

Ответ: x = 3.