Докажите, что среди 25 различных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа a и b таких, что число a^2 - b^2 делится на 24

В зависимости от остатков, которые получатся при деление целого числа на 24, множество целых чисел разбивается на 24 класса. Допустим что 24 из этих чисел попадут в разные классы. Но 25-е число в соответствии с принципом Дирихле попадет в один класс с каким-либо из этих чисел. поэтому среди данных чисел всегда найдутся два числа, которые при деление на 24 дают либо одинаковые остатки, либо сумма остатков делится на 24, но это и означает что разность их квадратов делится на 24. a=24q+r b = 24p + r где 0 < = r (24q + r - 24p - r) (24q + r + 24p + r)

Разложим выражение следующим образом:

a^2 - b^2 = (a + b) * (a - b)

a ≠ b.

1) a + b = 24.

Так как 24 = 12 + 12, следовательно, a ≠ 12, b ≠ 12.

Пусть а = 11, тогда b = 13.

a^2 - b^2 = 169 - 121 = 48.

48/24 = 2.

Пусть а = 1, тогда b = 23.

a^2 - b^2 = 529 - 1 = 528.

528/24 = 22.

2) a - b = 24.

a = 25, b = 1.

a^2 - b^2 = 625 - 1 = 624.

624/24 = 26.

Таким образом, среди 25 различных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа a и b таких, что число (a^2 - b^2) делится на 24.