В записи натурального числа нет девяток. Ваня взял несколько последних цифр этого числа, увеличил их на 1, и сложил получившееся число с изначальным. Могла ли сумма быть равна 123456789? Если да - приведите пример, если нет - докажите невозможность.

Будем считать, что несколько цифр - это как минимум две последних цифры.

Цифру 9 в крайнем правом разряде можно получить единственным способом: взять некоторое числа n и n+1, сложить их и приравнять к 9.

2n + 1 = 9;

n = 4.

В исходном числе в последнем разряде была 4. При поразрядном сложении в следующий разряд десятки не переходят, потому что сумма меньше 10.

8 во втором разряде справа может получиться только при сложении двух девяток или 8 и 9 плюс 1 из предыдущего разряда. Но единицы из младшего разряда нет, а девятки запрещены. Попытаемся получить из цифр этого разряда 8 или 18 предыдущим способом:

m + (m + 1) = 8, m = 3,5;

m + (m + 1) = 18, m = 7,5.

Решений в целых числах нет. Не существует пары чисел, отличающихся на 1, которые в сумме дают четное число.

Ответ: сумма не могла быть равна 123456789.