Решите неравенство 4 в степени икс плюс 4 в степени 1-х меньше или равно 5

Найдем решение показательного неравенства.

4^x + 4^ (1 - x) < 5;

Применим свойства степеней.

4^x + 4^1 * 4^ (-x) < 5;

4^x + 4 * ¼^x < 5;

Умножим обе части неравенства на 4^x.

4^x * 4^x + 4 * ¼^x * 4^x < 5 * 4^x;

(4^x) ^2 + 4 < 5 * 4^x;

(4^x) ^2 - 5 * 4^x + 4 < 0;

Пусть 4^x = a, тогда:

a^2 - 5 * a + 4 < 0;

Приравняем неравенство к 0.

a^2 - 5 * a + 4 = 0;

Найдем дискриминант.

D = b^2 - 4 * a * c = (-5) ^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2;

a1 = ( - (-5) + 3) / 2 = (5 + 3) / 2 = 8/2 = 4;

a2 = (5 - 3) / 2 = 2/2 = 1;

Получаем:

1) 4^x = 4;

x = 1;

2) 4^x = 1;

x = 0;

Отсюда получаем, 0 < x < 1.