2. Участок железной дороги имеет форму кривой, заданной уравнением y=x^3/2. Найти длину этого участка от x=1 до x=5.

Длина кривой вычисляется по формуле

L = _a~^b √ (1 + (y') ²) dx (~ - знак интеграла)

у = x³/2, а = 1, в = 5

Найдем производную функции.

у' = ((х³) ' * 2 - х³ * 2') / 2² = (2 * 3 х²) / 4 = 3 х²/2

Найдем длину кривой с помощью определенного интеграла.

Подставим известные значения в формулу.

L = ₁|⁵ √ (1 + (3 х²/2) ²) = ₁|⁵ √ (1 + 9 х⁴/4) = √ (1 + 9 * 5⁴/4) - √ (1 + 9 * 1⁴/4) = √ (1 + 9 * 625/4) - √ (1 + 9 * 1/4) = √ (1 + 1406,25) - √ (1 + 2,25) = √1407,25 - √3,25 ~ 37,5 - 1,8 = 35,7

Ответ: ~ 35,7 ед.