Решение неравенства 1/3^x^2-4x-1>9^x-1

Воспользуемся свойством степеней и приведем показательное неравенство к одному основанию:

(1/3) ^ (х² - 4 х - 1) > 9^ (x - 1);

(3) ^ ( - 1) ^ (х² - 4 х - 1) > 3^ (2) ^ (x - 1);

(3) ^ ( - (х² - 4 х - 1)) > 3^2 (x - 1);

Так как основания равны и 3 > 1, заменим неравенство равносильным:

- (х² - 4 х - 1) > 2 (x - 1);

- х² + 4 х + 1 > 2x - 2;

Перенесем все в левую часть:

- х² + 4 х + 1 - 2x + 2 > 0;

- х² + 2 х + 3 > 0;

х² - 2 х - 3 < 0;

Решим левую часть как квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = ( - 2) ² - 4 * 1 * ( - 3) = 4 + 12 = 16;

x1 = ( - b + √D) / 2a = (2 + √16) / 2 * 1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3;

x2 = ( - b - √D) / 2a = (2 - √16) / 2 * 1 = (2 - 4) / 2 = - 2 / 2 = - 1;

Воспользуемся методом интервалов:

+ - +

---° ( - 1) - --° (3) - --

х ∈ ( - 1; 3);

Ответ: х ∈ ( - 1; 3).