Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как 24:7; гипотенуза основания относится к высоте призмы, как 5:2; боковая поверхность содержит 140 м2. Найти объем.

Пусть катеты прямоугольного треугольника будут равны 24 х и 7 х, а гипотенуза и высота призмы будут равны 5 у и 2 у.

Выразим площадь боковой поверхности:

S_бок = 2 у (24 х + 7 х + 5 у) = 140.

у (31 х + 5 у) = 70.

По теореме Пифагора: (5 у) ² = (24x) ² + (7x) ².

25y² = 576x² + 49x².

25y² = 625x² (делим на 25 и вычисляем квадратный корень).

y = 5x.

Подставим у = 5 х в выражение у (31 х + 5 у) = 70.

5 х (31 х + 5 * 5 х) = 70.

5 х * 56 х = 70.

280 х² = 70.

х² = 1/4; х = 1/2.

Отсюда катеты равны 24 * 1/2 = 12 (см) и 7 * 1/2 = 3,5 (см).

у = 5 х = 5 * 1/2 = 2,5.

Отсюда гипотенуза равна 5 у = 5 * 2,5 = 12,5 (см) и высота призмы равна 2 у = 2 * 2,5 = 5 (см).

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

V = S_осн * h = 1/2 * 3,5 * 12 * 5 = 6 * 17,5 = 105 (см³).