Как решается 3sin^x+sinx*cosx=2cos^x

1. Разделим обе части уравнения на cosx:

3sin^2 (x) + sinx * cosx = 2cos^2 (x);

3tg^2 (x) + tgx = 2;

3tg^2 (x) + tgx - 2 = 0.

2. Обозначим tgx и решим квадратное уравнение:

y = tgx;

3y^2 + y - 2 = 0;

D = 1^2 + 4 * 3 * 2 = 1 + 24 = 25;

√D = √25 = 5;

y = (-1 ± 5) / (2 * 3) = (-1 ± 5) / 6;

y1 = (-1 - 5) / 6 = - 6 / 6 = - 1;

y2 = (-1 + 5) / 6 = 4 / 6 = 2/3.

3. Найдем значение x для каждого значения y:

a) y = - 1;

tgx = - 1;

x = - π/4 + πk, k ∈ Z.

b) y = 2/3;

tgx = 2/3;

x = arctg (2/3) + πk, k ∈ Z.

Ответ: - π/4 + πk; arctg (2/3) + πk, k ∈ Z.