Докажи, что разность между суммой квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенным произведением не зависит от выбранных чисел.

1. Возьмем два произвольных последовательных числа:

n и n+1.

2. Запишем сумму квадратов этих чисел:

n^2;

(n+1) ^2.

3. Запишем удвоенное произведение этих чисел:

2n * (n+1).

4. Найдем разность между суммой квадратов и удвоенным произведением:

(n^2 + (n+1) ^2) - 2n * (n+1).

5. Раскроем скобки, пользуясь формулой сокращенного умножения квадрата суммы:

(n^2 + n^2 + 2n + 1) - 2n*n - 2n*1;

n^2 + n^2 + 2n + 1 - 2n^2 - 2n.

6. Приведем подобные:

n^2 + n^2 - 2n^2 + 2n - 2n + 1;

2n^2 - 2n^2 + 2n - 2n + 1.

7. После сокращения получим 1.

Значит, разность между суммой квадратов и удвоенным произведением двух последовательных целых чисел всегда равна 1.