Найдите все натуральные m такие, что m^2 + 2 записывается одними шестерками.

1. Первое число получим при одной шестерки:

m^2 + 2 = 6; m^2 = 4; m = 2.

2. Второе число - при двух шестерках:

m^2 + 2 = 66; m^2 = 64; m = 8.

3. Для трех шестерок нет натуральных решений:

m^2 + 2 = 666; m^2 = 664. m = ± √664 - иррациональное число.

4. Для больших чисел также не существует целочисленных решений:

m^2 + 2 = 10000k + 6666; m^2 = 10000k + 6664; m^2 = 8 (1250k + 833).

В скобках нечетное число, значит, m^2 должен содержать три двойки, что невозможно для натурального числа.

Ответ: 2 и 8.