Найдите наименьшее значение функции у=х^2-8 х+7

у = х^2 - 8 х + 7.

1 способ - через производную функции.

Найдем точки экстремума функции

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т. е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(х^a) ' = ax^ (a - 1).

Тогда:

y' = (х^2 - 8 х + 7) ' = 2 х - 8.

Точки экстремума:

у' существует при всех значениях х.

y' = 0:

2 х - 8 = 0,

х = 4.

Т. к. при переходе через точку х = 4, производная функции меняет знак с "-" на "+", то точка х = 4 является точкой минимума функции и в этой точке достигается наименьшее значение функции.

у_наим = у (4) = 4^2 - 8 * 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = - 9.

Ответ: у_наим = - 9.

2 способ - аналитический.

у = х^2 - 8 х + 7 - квадратичная функция, графиком является парабола. Т. к. коэффициент перед х^2 больше нуля (1 > 0), то ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция достигает в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы можно найти по формуле:

х₀ = - b / 2a = 8 / 2 = 4.

Ордината: y₀ = у (4) = 4^2 - 8 * 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = - 9.

Наименьшее значение функции у_наим = - 9.