Найти все положительные целые числа n при которых оба числа n и n+2011 являются квадратами некоторых целых чисел

1. Пусть числа n и n + 2011 являются квадратами целых чисел a и b:

a^2 = n; (1) b^2 = n + 2011. (2)

2. Вычтем обе части уравнений (1) и (2) и используем формулу сокращенного умножения для разности квадратов двух величин:

b^2 - a^2 = 2011; |b|^2 - |a|^2 = 2011; (|b| + |a|) (|b| - |a|) = 2011. (3)

3. Поскольку число 2011 - простое, а |а| и |b| - неотрицательные целые числа, то уравнение (3) имеет единственное решение:

{|b| + |a| = 2011;

{|b| - |a| = 1; {2|b| = 2012;

{2|a| = 2010; {|b| = 1006;

{|a| = 1005.

n = a^2 = |a|^2 = 1005^2 = 1 010 025.

Ответ: 1 010 025.