Найдите число целых неотрицательных значений А при которых уравнение 6sin 2x+3cos 2x=A имеет решение

Уравнения вида a∙sinα + b∙cosα = A эквивалентны уравнению:

sin (α + φ) = A/√ (a² + b²).

где sinφ = a/√ (a² + b²), cosφ = b/√ (a² + b²).

Заменим исходное уравнение эквивалентным:

sin (2x + φ) = A/√ (6² + 3²)

sin (2x + φ) = A/√45.

Значение дополнительного угла φ искать не нужно. Достаточно того, что уравнение sinα = c имеет решения только если |c| ≤ 1.

Найдем неотрицательные A удовлетворяющие неравенству A/√45 ≤ 1:

A/√45 ≤ 1

A ≤ √45

A ≤ √45 < √49

A < 7.

Таким образом, подходят неотрицательные целые от 0 до 6 включительно.

Ответ: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.