Сократите дробь x^3+4x^2+5x+2/x^3-x^2-5x-3

(x³ + 4x² + 5x + 2) / (x³ - x² - 5x - 3).

1) Разложим числитель на множители. Корнями кубического многочлена являются делители свободного члена (числа без х), то есть 2: 1, - 1, 2 или - 2.

Пробуем 1: x³ + 4x² + 5x + 2 = 1³ + 4 * 1² + 5 * 1 + 2 = 1 + 4 + 5 + 2 = 12 (ен подходит).

Пробуем (-1) : (-1) ³ + 4 * (-1) ² + 5 * (-1) + 2 = - 1 + 4 - 5 + 2 = 0 (подходит). х₁ = - 1.

Первая скобка будет (х - х₁) = (х + 1).

Делим (x³ + 4x² + 5x + 2) на (х + 1), получится (х² + 3 х + 2).

Значит, x³ + 4x² + 5x + 2 = (х + 1) (х² + 3 х + 2).

Находим корни квадратного трехчлена (вторая скобка) по теореме Виета, они равны - 2 и - 1.

Следовательно, x³ + 4x² + 5x + 2 = (х + 1) (х + 2) (х + 1) = (х + 1) ² (х + 2).

2) Разложим знаменатель на множители. Делители свободного члена - 3 равны: 1, - 1, 3 или - 3.

Пробуем 1: x³ - x² - 5x - 3 = 1³ - 1² - 5 * 1 - 3 = 1 - 1 - 5 - 3 = - 8 (не подходит).

Пробуем - 1: (-1) ³ - (-1) ² - 5 * (-1) - 3 = - 1 - 1 + 5 - 3 = 0 (подходит). х₁ = - 1.

Первая скобка будет (х + 1).

Делим (x³ - x² - 5x - 3) на (х + 1), получится (х² - 2 х - 3).

Значит, x³ - x² - 5x - 3 = (х + 1) (х² - 2 х - 3).

Находим корни квадратного трехчлена (вторая скобка) по теореме Виета, они равны 3 и - 1.

Следовательно, x³ - x² - 5x - 3 = (х + 1) (х - 3) (х + 1) = (х + 1) ² (х - 3).

3) Получилась дробь ((х + 1) ² (х + 2)) / ((х + 1) ² (х - 3)).

Скобку (х + 1) ² можно сократить (х не равно - 1), остается (х + 2) / (х - 3).

Ответ: (x³ + 4x² + 5x + 2) / (x³ - x² - 5x - 3) = (х + 2) / (х - 3).