6cos^2 x/2+7sin x/2 - 8 = 0

Задействуем следствие из основного тригонометрического тождества, получаем:

6 (1 - sin^2 (x/2)) + 7sin (x/2) - 8 = 0;

-6sin^2 (x/2) + 7sin (x/2) - 2 = 0.

Произведем замену переменных t = sin (x):

6t^2 - 7t + 2 = 0.

Корни квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются

по формуле: x12 = (-b + - √ (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

t12 = (7 + - √ (49 - 4 * 6 * 2)) / 2 * 6 = (7 + - 1) / 12.

t1 = (7 - 1) / 12 = 1/2; t2 = (7 + 1) / 12 = 2/3.

Обратная замена:

tg (x) = 1/2;

x1 = arctg (1/2) + - π * n;

x2 = arctg (2/3) + - π * n.