Какой трехзначный номер комнаты в гостинице, если он совпадает с половиной суммы всех шести двузначных чисел, которые можно образовать из цифр номера?

Пусть D, E и F - это цифры трехзначного номера, а d, e и f - это числа, которые им соответствуют.

Тогда трехзначное число DEF можно представить таким образом:

DEF = 100d + 10e + f

Составим двузначные числа из цифр D, E и F.

DE = 10d + e

DF = 10d + f

ED = 10e + d

EF = 10e + f

FD = 10f + d

FE = 10f + e

Посчитаем сумму всех этих шести двузначных чисел.

DE + DF + ED + EF + FD + FE = 10d + e + 10d + f + 10e + d + 10e + f + 10f + d + 10f + e = 22d + 22e + 22f

Трехзначное число DEF равно половине той суммы, которую мы только что посчитали. Составим уравнение.

100d + 10e + f = 0,5 * (22d + 22e + 22f)

100d + 10e + f = 11d + 11e + 11f

89d = 10f + e

Выражение 10f + e соответствует двузначному числу FE, которое не может быть больше 99. Значит, 89d тоже не может быть больше 99.

89d ⩽ 99

d ⩽ 99 / 89

d ⩽ 1 + 10/89

Поскольку d - это натуральное число, оно может быть равно только 1.

Подставим d = 1 в наше уравнение.

89 * 1 = 10f + e

10f + e = 89

FE = 89

Значит, f = 8 и e = 9.

Ранее мы выяснили, что d = 1. Получилось трехзначное число 198.

Ответ: 198.