Докажите, что при любом натуральном N значение выражения (5n + 7) ² (3n + 10) ² делится на 4.

Пусть n ϵ N, где N - множество натуральных чисел. Ясно, что если n чётно, то оно представимо в виде n = 2 * k, а если нечётно, то в виде n = 2 * k - 1, где k ϵ N. Данное выражение представим в виде ((5 * n + 7) * (3 * n + 10)) ². При n = 2 * k - 1 имеем 5 * n + 7 = 5 * (2 * k - 1) + 7 = 10 * k + 2 чётно. При n = 2 * k имеем 3 * n + 10 = 3 * 2 * k + 10 = 6 * k + 10 чётно. Значит, выражение (5 * n + 7) * (3 * n + 10) всегда чётно. Поскольку, (2 * k) ² = 4 * k², то квадрат чётного числа делится на 4.