8 класс 1. Докажите, что при любом натуральном n: n^3+11n делится на 6; 15^n+6 делится на 7; 5*4^2n+4*61^n делится на 9; 2. Докажите, что чётная натуральная степень числа 3, увеличенная на 7, кратна 8.

1. Доказательство:

возьмем натуральное число 1 и подставим его в уравнение:

1^3+11*1=1+11=12 - делится на 6

12/6=2. Доказано.

2. Также предположим, что выражение справедливо при n = k+1, т. е. (k+1) ^3 + 11 (k+1) = k^3 + 3k^ 2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k^3 + 11k) + 3k (k + 1) + 12.

Первое слагаемое на 6 делится, а второе при любом k∈N (натуральное) одно из чисел или k+1 или k будет четным и оно делится на 6, третье также на 6 делится.

По данному методу математической индукции получаем, что при любом n∈N выражение делится на 6.

2. Аналогично, берем первое четное натуральное число 2:

3^2+7=9+7=16 - делится на 8