В равнобедренной трапеции АВСD АD||ВС, угол А=30 º, высота ВК = 1, ВС = 2 корня из3. а) найдите площадь трапеции. б) найдите площадь треугольника КМD, если М - середина отрезка ВD.

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция; AD параллельно ВС; угол А = 30 градусов; ВК - высота = 1; ВС = 2√3.

Найти: а) S (площадь) трапеции ABCD; б) S треугольника KMF, если т. М - середина BD.

Решение:

А) Так как ВК - высота, то угол АКВ = углу BKD = 90 градусов.

Угол А = 30 градусов. Катет, противолежащий углу в 30 градусов, равен 1/2 (половине) гипотенузы. В данном случае АВ - гипотенуза, значит, АВ = 2 ВК = 2 х 1 = 2.

По теореме Пифагора: АК^2 = АВ^2 - ВК^2; AK^2 = 4 - 1 = 3; AK = √3.

Проведём высоту СН. СН = ВК, как высоты одной трапеции. Также ВК параллельно СН - как перпендикуляры к одной прямой, значит, КВСН - прямоугольник, значит, ВС = KH = 2√3.

Треугольник АВК = треугольнику DCH - по гипотенузе и катету (АВ = CD - так как трапеция равнобедренная и СН = ВК - так как высоты равны), значит, АК + НD = 2√3.

AD = AK + KH + HD = 4√3.

S ABCD (полусумма оснований, умноженная на высоту) = (AD + BC) / 2 x BK = (4√3 + 2√3) / 2 х 1 = 3√3.

Б) Проведём перпендикуляр МР, перпендикулярный основанию АD.

МР - средняя линия треугольника BKD (так как М - середина BD, а P - середина KD).

Средняя линия равна половине основания треугольника: МР = ВК/2 = 1/2 = 0,5.

KD = KH + HD = 3√3.

S KMF = 1/2 x KD x MP = 0,5 x 3√3 x 0,5 = 3√3/4

Ответ: 3√3; 3√3/4.