в каких границах изменяется переменная y=sinx+cosx когда x меняется вдоль вещественной оси

Возведя уравнение в в квадрат, получим:

y^2 = (sin (x) + cos (x)) ^2 = sin^2 (x) + cos^2 (x) + 2 sin (x) * cos (x).

Используя основное геометрическое тождество, получаем:

y^2 = 1 + 2sin (x) * cos (x) = 1 + sin (2x).

y = √ (1 + sin (2x).

Так как по определению sin (2x) изменяется от - 1 до 1, то y будет изменяться от 0 до √2.