Найти множество значений функции у=3sin^2x+cos2x

Прежде всего, заметим, что данная функция определена на всей числовой прямой, так как она являясь сложной функцией, образована из тех функций, которые определены на всей числовой прямой и арифметические действия, присутствующие в её составе не нарушают это свойство. Используя формулу cos (2 * α) = cos²α - sin²α (косинус двойного угла), имеем y = 3 * sin²x + cos (2 * x) = 3 * sin²x + cos²x - sin²x = 2 * sin²x + cos²x = sin²x + sin²x + cos²x. Воспользуемся формулой sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество). Тогда y = sin²x + 1. Для того, чтобы найти множество значений полученной функции y = sin²x + 1 воспользуемся соответствующими свойствами функций f (x) = sinx и f (x) = х², а также свойством арифметического действия суммирования. Как известно, функция f (x) = sinx определена на всей числовой прямой и множеством её значений является отрезок [-1; 1]. Функция f (x) = х² также определена на всей числовой прямой и множеством её значений является [0; + ∞). Следовательно, функция f (x) = sin²x определена на всей числовой прямой и множеством её значений является отрезок [0; 1]. Зная множество значений функции f (x) = sin²x, легко найти множество значений функции y = sin²x + 1. Оно получается путём увеличения границ отрезка [0; 1] на 1. Таким образом, данная функция определена на всей числовой прямой и множеством её значений является отрезок [1; 2].

Ответ: Множеством значений функции y = 3 * sin²x + cos (2 * x) является отрезок [1; 2].