X^4+2x^3-9x^2-6x+9 надо решить, подобрав замену переменной

Поделим все уравнение на х²:

х⁴/х² + 2x³/х² - 9 х²/х² - 6x/х² + 9/х² = 0.

х² + 2 х - 9 - 6/х + 9/х² = 0.

Поменяем местами одночлены:

(х² - 6 + 9/х²) + 2 (х - 3/х) - 3 = 0. Число - 3 добавлено для сохранения равенства.

Введем новую переменную, пусть (х - 3/х) = а.

Тогда а² = (х - 3/х) ² = х² - 2 * х * 3/х + (3/х) ² = х² - 6 + 9/х².

Получается уравнение:

а² + 2 а - 3 = 0.

D = 2 + 12 = 16 (√D = 4).

а₁ = (-2 - 4) / 2 = - 3.

а₂ = (-2 + 4) / 2 = 1.

Вернемся к замене (х - 3/х) = а.

1) а = - 3.

х - 3/х = - 3;

х + 3 - 3/х = 0;

(х² + 3 х - 3) / х = 0.

ОДЗ: х не равен 0.

х² + 3 х - 3 = 0.

D = 9 + 12 = 21.

х₁ = (-3 - √21) / 2.

х₂ = (-3 + √21) / 2.

2) а = 1;

х - 3/х = 1;

х - 1 - 3/х = 0.

(х² - х - 3) / х = 0.

х² - х - 3 = 0.

D = 1 + 12 = 13 (√D = √13).

х₃ = (1 + √13) / 2;

х₄ = (1 - √13) / 2.