Прямая y=4-2x является касательной к графику функции y=x^3+6x^2+7x+8. Найдите абсциссу точки касания.

1. Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной:

g (x) = 4 - 2x; f (x) = x^3 + 6x^2 + 7x + 8;

f' (x) = 3x^2 + 12x + 7 = - 2;

3x^2 + 12x + 7 + 2 = 0;

3x^2 + 12x + 9 = 0;

x^2 + 4x + 3 = 0;

D/4 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1;

x = - 2 ± 1;

x1 = - 2 - 1 = - 3; x2 = - 2 + 1 = - 1.

2. Вычислим значения функций в точках x1 и x2:

g (x1) = g (-3) = 4 - 2 * (-3) = 4 + 6 = 10; g (x2) = g (-1) = 4 - 2 * (-1) = 4 + 2 = 6; f (x1) = f (-3) = (-3) ^3 + 6 * (-3) ^2 + 7 * (-3) + 8 = - 27 + 54 - 21 + 8 = 14; f (x2) = f (-1) = (-1) ^3 + 6 * (-1) ^2 + 7 * (-1) + 8 = - 1 + 6 - 7 + 8 = 6. g (x1) ≠ f (x1); g (x2) = f (x2).

Координаты точки касания: (-1; 6).

Ответ. Абсцисса точки касания: - 1.