Найти расстояние от точки М (0; 1; 2) до прямой (x-1) / 2=y = (z-2) / 0 и проекцию точки М на прямую

1. Расстояние от точки M до любой точки N, лежащей на заданной прямой:

{y = (x - 1) / 2;

{z - 2 = 0; {y = 1/2 * x - 1/2;

{z = 2.

Прямая лежит в плоскости z = 2.

М (0; 1; 2).

MN^2 = (x - 0) ^2 + (y - 1) ^2 + (z - 2) ^2; MN^2 = x^2 + (1/2 * x - 1/2 - 1) ^2 + (2 - 2) ^2; MN^2 = x^2 + (1/2 * x - 3/2) ^2; MN^2 = x^2 + 1/4 * x^2 - 3/2 * x + 9/4; 4MN^2 = 4x^2 + x^2 - 6x + 9; 4MN^2 = 5x^2 - 6x + 9.

2. Наименьшее значение MN (MH) и есть расстояние от точки M до прямой:

f (x) = 5x^2 - 6x + 9; D/4 = 3^2 - 5 * 9 = 9 - 45 = - 36; xmin = - b/2a = 6/10 = 3/5; fmin = - D/4a = 36/5; 4MH^2 = fmin = 36/5; MH^2 = 9/5; MH = 3/√5.

3. Проекция точки М (точка H):

x0 = xmin = 3/5 = 0,6; y0 = 1/2 * x0 - 1/2 = 1/2 * 3/5 - 1/2 = 0,3 - 0,5 = - 0,2; z0 = 2. H (0,6; - 0,2; 2).

Ответ: H (0,6; - 0,2; 2); MH = 3/√5.