Найти проекцию точки А (13; 18) на прямую 3 х+4 у-11=0

1. Составляем уравнение для расстояния между точкой A (13, 18) и произвольной точкой M (x; y), лежащей на заданной прямой:

3 х + 4 у - 11 = 0; 4 у = - 3x + 11; у = - 3/4 * x + 11/4. AM^2 = (x - 13) ^2 + (y - 18) ^2; AM^2 = (x - 13) ^2 + (-3/4 * x + 11/4 - 18) ^2; 16AM^2 = 16 (x - 13) ^2 + (-3x + 11 - 72) ^2; 16AM^2 = 16 (x - 13) ^2 + (3x + 61) ^2; 16AM^2 = 16x^2 - 416x + 2,704 + 9x^2 + 366x + 3721; 16AM^2 = 25x^2 - 50x + 6,425; 16AM^2 = 25x^2 - 50x + 25 - 25 + 6,425; 16AM^2 = 25 (x^2 - 2x + 1) + 6,400; 16AM^2 = 25 (x - 1) ^2 + 6,400; AM^2 = (5/4 (x - 1)) ^2 + 400.

2. Наименьшее значение AM^2 будет при x = 1:

x0 = 1; y0 = - 3/4 * 1 + 11/4 = 8/4 = 2; M0 (x0; y0) = (1; 2); AM0 = √400 = 20.

Ответ: (1; 2).