Пусть f (x) = x^2+a. Докажите, что многочлен f (f (x)) - x делится на многочлен f (x) - x и найдите частное.

1. Пусть:

g (x) = f (f (x)) - x; h (x) = f (x) - x.

2. Подставим значение f (x) в эти равенства и явно выразим функции g (x) и h (x) через x:

f (x) = x^2 + a; h (x) = f (x) - x; h (x) = x^2 + a - x = x^2 - x + a. g (x) = f (f (x)) - x; g (x) = f (x^2 + a) - x; g (x) = (x^2 + a) ^2 + a - x; g (x) = x^4 + 2ax^2 + a^2 + a - x; g (x) = (x^4 - x^3 + ax^2) + (x^3 - x^2 + ax) + ((a + 1) x^2 - (a + 1) x + (a + 1) a); g (x) = x^2 (x^2 - x + a) + x (x^2 - x + a) + (a + 1) (x^2 - x + a); g (x) = (x^2 - x + a) (x^2 + x + a + 1); g (x) = h (x) (x^2 + x + a + 1); g (x) / h (x) = x^2 + x + a + 1.

Ответ: x^2 + x + a + 1.