Назовите такое значение b, при котором неравенство b (x-b) ≤3x+1 верно для любого значения x.

В этой задаче вам необходимо называть такое значение b, при котором неравенство b (x - b) ≤ 3x + 1 верно для любого значения x.

Преобразование неравенства

Прежде всего, раскроем скобки в левой части неравенства и перенесем слагаемое с х в правую часть неравенства:

bx - b^2 ≤ 3x + 1;

- b^2 ≤ 3x + 1 - bx;

Поменяем местами слагаемые в правой части неравенства и вынесем х за скобку:

- b^2 ≤ 1 + 3x - bx;

- b^2 ≤ 1 + х (3 - b).

Выбор параметра b, отвечающего условиям задачи

Анализируя неравенство - b^2 ≤ 1 + х (3 - b), обратим внимание на следующие факты:

левая часть неравенства - b^2 ≤ 0 при любых значения параметра b; правая часть неравенства 1 + х (3 - b) состоит из двух слагаемых 1 и х (3 - b); при значении параметра b = 3 правая часть неравенства равна 1:

1 + х (3 - b) = 1 + х (3 - 3) = 1 + х * 0 = 1.

Значит, при b = 3 неравенство справедливо для любых значений х так как оно сводится к верному утверждению:

- 9 ≤ 1.

Ответ: при b = 3 неравенство b (x - b) ≤ 3x + 1 справедливо для любых значений х.

Раскроем скобки:

bx - b^2 ≤ 3x + 1;

Сгруппируем все слагаемые с неизвестной переменной:

bx - 3 х ≤ b^2 + 1;

Для того, чтобы неравенство было верно для любого х, необходимо, чтобы все слагаемые с х сократились. Соответственно b должно быть равно 3. Проверяем:

3 х - 3 х ≤ 9 + 1;

0 ≤ 10 - неравенство выполняется.

Ответ: b = 3.