Биссектриса прямого угла прямоугольно треугольника делит гипотенузу на отрезки 5 и 10 см. Найдите площадь треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В.

Пусть BM - биссектриса угла В и пересекает гипотенузу AC

в точке M. Тогда по условию задачи имеем:

AM = 5 см, CM = 10 см.

Заметим, что длина гипотенузы AC = AM + CM = 15.

По свойству биссектрисы угла треугольника имеем:

AB / AM = BC / CM,

AB = BC * AM / CM = BC * 5/10 = BC / 2, BC = 2 * AB.

По теореме Пифагора имеем:

AC^2 = AB^2 + BC^2,

15^2 = AB^2 + 4 * AB^2,

225 = 5 * AB^2,

AB ^2 = 45,

AB = √45 = 3 * √5.

ВС = 2 * AB = 6 * √5.

Следовательно, площадь S треугольника ABC:

S = 1/2 * AB * BC = 1/2 * 3 * √5 * 6 * √5 = 45.

Ответ: S = 45.