2cos²x = 8cos2x - sin2x

1. Применим формулу двойного аргумента тригонометрических функций:

2cos²x = 8cos2x - sin2x;

cos2x = cos²x - sin²x;

sin2x = 2sinxcosx;

2. Подставим полученные значения и перенесем в левую часть:

2cos²x - 8 (cos²x - sin²x) + 2sinxcosx = 0;

2cos²x - 8cos²x + 8sin²x + 2sinxcosx = 0;

- 6cos²x + 8sin²x + 2sinxcosx = 0;

3. Разделим равенство на cos²x ≠ 0;

- 6cos²x/cos²x + 8sin²x/cos²x + 2sinxcosx/cos²x = 0;

8tg²x + 2tgx - 6 = 0;

4. Выполним замену tgx = t:

8t² + 2t - 6 = 0;

5. Определим дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = (2) ² - 4 * 8 * ( - 6) = 4 + 192 = 196;

t1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 2 - √196) / 2 * 8 = ( - 2 - 14) / 16 = - 16 / 16 = - 1;

t2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 2 + √196) / 2 * 8 = ( - 2 + 14) / 16 = 12 / 16 = 3/4;

6. Eсли t1 = - 1:

tgx = - 1;

х = arctg ( - 1) + πn, n ∈ Z;

х = - arctg (1) + πn, n ∈ Z;

x1 = - π/4 + πn, n ∈ Z;

Eсли t2 = 3/4:

tgx = 3/4;

х2 = arctg (3/4) + πm, m ∈ Z;

Ответ: x1 = - π/4 + πn, n ∈ Z, х2 = arctg (3/4) + πm, m ∈ Z.