1) интеграл dx/1+в корне x2) интеграл (tgx+2tg2x + 4tg4x+8tg8x) dx3) интеграл (tg^2) x * (sec^2) dx

1) Делаем замену x = t². Тогда dx = 2 * t dt. Затем разделим почленно числитель на знаменатель:

∫dx / (1 + √x) = ∫2t / (t + 1) = ∫2 + (-2 / (t + 1)) = 2t - 2ln (t+1) + C.

ОТВЕТ: 2t - 2ln (t+1) + C.

2) ∫ (tgx) dx + ∫ (2tg2x) dx + ∫ (4tg4x) dx + ∫ (8tg8x) dx;

∫ (tgx) dx = ∫ (sinx / cosx) dx.

Внесем sinx под знак дифференциала:

∫ (sinx / cosx) dx = |cosx = d (sinx) | = ∫d (sinx) / sinx = ln (sinx).

Аналогично находим остальные слагаемые:

∫ (2tg2x) dx = ½ * ln (sin2x);

∫ (4tg4x) dx = 1/4 * ln (sin4x);

∫ (8tg8x) dx = 1/8 * ln (sin8x).

ОТВЕТ: ln (sinx) + ½ * ln (sin2x) + 1/4 * ln (sin4x) + 1/8 * ln (sin8x) + С.

3) ∫ ((tgx) ² * (secx) ² ) dx = ∫ ((tgx) ² * (1/cosx) ² ) dx = ∫ ((sinx) ² (cosx) ⁴ ) dx.

Делаем замену g (x) = t:

dx = dt / (1 + t²), sinx = t / √ (1 + t²), cosx = t / √ (1 + t²).

Получим ∫t²dt.

∫t²dt = t³ / 3.

Так как мы заменяли t, сделаем обратную подстановку:

t³ / 3 = 1/3 * (tgx) ³ + C.

ОТВЕТ: 1/3 * (tgx) ³ + C.