Решить систему уравнений {x^2+y^2=2 {xy=1

{х^2 + у^2 = 2; ху = 1.

Выразим из второго уравнения системы переменную х через у.

х = 1/у.

Подставим в первое уравнение системы вместо х выражение 1/у.

(1/у) ^2 + у^2 = 2;

1 / (у^2) + (у^2) / 1 = 2/1.

Приведем дроби к общему знаменателю у^2. Дополнительный множитель для дроби (у^2) / 1 равен у^2, для дроби 2/1 - у^2.

1 / (у^2) + (у^4) / (у^2) = (2 у^2) / (у^2);

(1 + у^4) / (у^2) = (2 у^2) / (у^2).

Две дроби с одинаковыми знаменателями равны, если равны их числители.

О. Д. З. у ≠ 0;

1 + у^4 = 2 у^2;

у^4 - 2 у^2 + 1 = 0.

Введём новую переменную у^2 = t.

t^2 - 2t + 1 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-2) ^2 - 4 * 1 * 1 = 0 - если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень;

х = - b / (2a);

t = 2/2 = 1.

Выполним обратную подстановку.

у^2 = 1;

у1 = 1; у2 = - 1.

Найдем соответствующие значения х.

х1 = 1/у1 = 1/1 = 1;

х2 = 1/у2 = 1 / (-1) = - 1.

Ответ. (1; 1); (-1; - 1).