Найдите все положительные решения неравенства x^2y+xy^2+x+y<=4xy

1. Поскольку рассматриваем только положительные решения, то можем разделить неравенство на положительное число xy:

x^2y + xy^2 + x + y ≤ 4xy; x + y + 1/y + 1/x ≤ 4.

2. Выделяем квадраты двучленов:

((√x) ^2 - 2 * √x * 1/√x + (1/√x) ^2) + 2 + ((√y) ^2 - 2 * √y * 1/√y + (1/√y) ^2) + 2 - 4 ≤ 0; (√x - 1/√x) ^2 + (√y - 1/√y) ^2 ≤ 0.

3. Сумма квадратов не может быть отрицательной, а ноль достигается, если сами выражения равны нулю:

{√x - 1/√x = 0;

{√y - 1/√y = 0; {x - 1 = 0;

{y - 1 = 0; {x = 1;

{y = 1.

Ответ: (1; 1).