Упростите выражение 1/х * (х+1) + 1 / (х+1) * (х+2) + 1 / (х+2) * (х+3) + 1 / (х+3) * (х+4) + 1 / (х+4) * (х+5)

1. Слагаемые в этой сумме представим в виде последовательности функций:

fn (x) = 1 / ((x + n - 1) (x + n)), n ∈ N.

2. Докажем по методу математической индукции, что сумма первых n членов этой последовательности равна:

Sn (x) = n / (x (x + n)).

a) первый член:

S1 (x) = f1 (x) = 1/x (x + 1);

b) предположим, что для n = k утверждение верно:

Sk (x) = k / (x (x + k)),

и докажем для n = k + 1:

S (k+1) (x) = (k + 1) / (x (x + k + 1)).

S (k+1) (x) = Sk (x) + f (k+1) (x); S (k+1) (x) = k / (x (x + k)) + 1 / ((x + k) (x + k + 1)); S (k+1) (x) = (k (x + k + 1) + x) / (x (x + k) (x + k + 1)); S (k+1) (x) = (x (k + 1) + k (k + 1)) / (x (x + k) (x + k + 1)); S (k+1) (x) = (k + 1) (x + k) / (x (x + k) (x + k + 1)); S (k+1) (x) = (k + 1) / (x (x + k + 1)).

Доказано.

3. Для суммы пяти первых членов получим:

Sn (x) = n / (x (x + n)); S5 (x) = 5 / (x (x + 5)).

Ответ: 5 / (x (x + 5)).