Квадрат со стороной 9 см разбит на единичные квадратики (квадраты со стороной 1 см). Какое наибольшее количество единичных квадратиков можно закрасить так, чтобы никакие два закрашенных квадратика не имели общей вершины?

Для того, чтобы получить наибольшее количество единичных квадратиков так, чтобы никакие два закрашенных квадратика не имели общей вершины нужно закрашивать их в шахматном порядке, начиная с одного из боковых рядов.

В первом ряду таким образом мы закрасим 5 квадратов, в следующем 4, потом 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5.

Всего квадратов:

5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 = 5 * 5 + 4 * 4 = 25 + 16 = 41.

Ответ: 41 квадрат.