Найдите корни уравнения sin (4x/3+Пи/6) = -1/2, принадлежащие промежутку [-2 Пи; 2 Пи).

Воспользуемся решением простейшего тригонометрического уравнения sinx = - ½, которое, как известно, имеет следующие две серии решений: x₁ = - π/6 + 2 * π * k и x₂ = 7 * π/6 + 2 * π * n, где k, n ∈ Z, Z - множество целых чисел. Для данного уравнения, имеем: 4 * х₁ / 3 + π/6 = - π/6 + 2 * π * k и 4 * х₂ / 3 + π/6 = 7 * π/6 + 2 * π * n. Эти решения позволяют получить: х₁ = - π/4 + (3 * π) / 2 * k и х₂ = 3 * π/4 + (3 * π) / 2 * n. Теперь среди найденных решений ищем те, которые принадлежат промежутку (-2 * π; 2 * π]. Если таковые имеются, то они должны удовлетворять следующим двум двойным неравенствам: - 2 * π ≤ - π/4 + (3 * π) / 2 * k < 2 * π и - 2 * π ≤ 3 * π/4 + (3 * π) / 2 * n < 2 * π, где k, n ∈ Z. Решим каждое двойное неравенство по отдельности. Первое двойное неравенство можно переписать так: - 2 * π + π/4 ≤ (3 * π) / 2 * k < 2 * π + π/4 или - 7/6 ≤ k < 1,5. Это неравенство имеет следующие целые решения: k = - 1; k = 0 и k = 1. Соответствующими корнями данного уравнения будут: - 7 * π/4; - π/4 и 5 * π/4. Второе двойное неравенство можно переписать так: - 2 * π - 3 * π/4 ≤ (3 * π) / 2 * n < 2 * π - 3 * π/4 или - 11/6 ≤ k < 5/6. Это неравенство имеет следующие целые решения: n = - 1 и n = 0. Соответствующими корнями данного уравнения будут: - 3 * π/4 и 3 * π/4. Итак, корнями данного уравнения, принадлежащими промежутку [-2 * π; 2 * π), являются: - 7 * π/4; - 3 * π/4; - π/4; 3 * π/4 и 5 * π/4.

Ответ: - 7 * π/4; - 3 * π/4; - π/4; 3 * π/4 и 5 * π/4.