При некоторых значениях a и b выражение p = 2a2 - 8ab + 17b2 - 16a - 4b + 2081 принимает наименьшее значение. Чему равно это значение?

Имеем выражение:

p = 2 * a^2 - 8 * a * b + 17 * b^2 - 16 * a - 4 * b + 2081.

Найдем значения a и b, при которых выражение принимает наименьшее значение.

Преобразуем выражение:

p = a^2 + a^2 - 8 * a * b + 16 * b^2 + b^2 - 16 * a - 4 * b + 2081 = (a - 4 * b) ^2 + a^2 - 2 * a * 8 + 64 - 64 + b^2 - 2 * b * 2 + 4 - 4 + 2081 = (a - 4 * b) ^2 + (a - 8) ^2 + (b - 2) ^2 + 2013.

Получили сумму трех квадратов и числа 2013.

Сумма наименьшая, когда квадраты - нули.

a - 4 * b = 0;

a - 8 = 0;

b - 2 = 0;

a = 8;

b = 2.

При этих значениях сумма будет минимальной и равной 2013.