1. Упростите выражение а) 1/3 корень 18 + 3 корень 8 - корень 98 б) 2 корень 5 (корень 20 - 3 корень 5) в) (3+2 корень 7) в квадрате г) (корень 11 + 2 корень 7) в квадрате 2. Сравните значение выражений 8 корень 3/4 и 1/3 корень 405 3. Сократите дроби а) корень 3 - 3 / 3 корень 2 - корень 6 б) 9a - b в квадрате / 9a - 6b корень a + b к квадрате 4. Освободитесь от знака корня в знаменателе дроби а) 15 / 2 корень 6 б) 19 / 2 корень 5 - 1

1) а) 1/3√18 + 3√8 - √98.

Нужно представить число под корнем в виде произведения множителей, из которых вычисляется квадратный корень (хотя бы из одного).

1/3√18 + 3√8 - √98 = 1/3√ (9 * 2) + 3√ (4 * 2) - √ (49 * 2) = 1/3 * √9 * √2 + 3 * √4 * √2 - √49 * √2 = 1/3 * 3 * √2 + 3 * 2 * √2 - 7 * √2 = √2 + 6√2 - 7√2 = (1 + 6 - 7) √2 = 0 * √2 = 0.

б) 2√5 (√20 - 3√5).

Раскрываем скобки:

2√5 (√20 - 3√5) = 2√5 * √20 - 2√5 * 3√5 = 2√100 - 6√25 = 2 * 10 - 6 * 5 = 20 - 30 = - 10.

в) (3 + 2√7) ^2.

Раскрываем скобки по формуле квадрата суммы.

(3 + 2√7) ^2 = 3^2 + 2 * 3 * 2√7 + (2√7) ^2 = 9 + 6√7 + 4 * 7 = 9 + 6√7 + 28 = 37 + 6√7.

г) (√11 + 2√7) ^2.

Раскрываем скобки по формуле квадрата суммы.

(√11 + 2√7) ^2 = (√11) ^2 + 2 * √11 * 2√7 + (2√7) ^2 = 11 + 4√77 + 28 = 39 + 4√77.

2. Сравнить 8√ (3/4) и 1/3√405.

Внесем числа перед корнем под знак квадратного корня.

√ (64 * 3/4) и √ (1/9 * 405);

√ (192/4) и √ (405/9);

√48 и √45. Видно, что первое число больше, значит 8√ (3/4) > 1/3√405.

3) а) (√3 - 3) / (3√2 - √6).

Каждое число можно представить в виде корня: 3 = √3 * √3.

(√3 - √3 * √3) / (√3 * √3 * √2 - √3 * √2).

Вынесем общие множители за скобку:

√3 (1 - √3) / √3 * √2 (√3 - 1).

Вынесем минус за скобку в числителе:

-√3 (√3 - 1) / √3 * √2 (√3 - 1).

Выполняем сокращение, остается - 1/√2.

Умножаем и числитель, и знаменатель на √2, чтобы избавиться от иррациональности:

-1/√2 = - √2/2.

б) (9a - b^2) / (9a - 6b√a + b^2).

Представим а как (√а) ^2.

(9a - b^2) / (9a - 6b√a + b^2) = ((3√а) ^2 - b^2) / ((3√a) ^2 - 2 * 3√a * b + b^2).

Числитель раскладываем на множители по формуле разности квадратов, а знаменатель сворачиваем по формуле квадрата разности.

(3√а - b) (3√а + b) / ((3√a - b) ^2.

Выполняем сокращение, остается (3√а + b) / (3√a - b).

4) а) 15/2√6.

Избавимся от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на √6.

15/2√6 = (15 * √6) / (2 * √6 * √6) = 15√6/12 = 5√6/4.

б) 19 / (2√5 - 1).

Избавимся от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на (2√5 + 1).

19 (2√5 + 1) / (2√5 - 1) (2√5 + 1) = 19 (2√5 + 1) / ((2√5) ^2 - 1^2) = 19 (2√5 + 1) / (20 - 1) = 19 (2√5 + 1) / 19 = 2√5 + 1.