Упростите выражение (х²-х-12) / (х²+6 х+9) + (12-4 х) / (х²-9)

(х² - х - 12) / (х² + 6 х + 9) + (12 - 4 х) / (х² - 9).

Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители по формуле разложения квадратного трехчлена на множители ax² + bx + c = a (x - x1) (x - x2).

1) x² - x - 12 = 0.

По теореме Виета х1 = 4, х2 = - 3.

х² - х - 12 = (х - 4) (х + 3).

2) х² + 6 х + 9 = 0;

х1 = х2 = - 3;

х² + 6 х + 9 = (х + 3) ².

Подставим разложения в исходную дробь.

((х - 4) (х + 3)) / (х + 3) ² + (12 - 4 х) / (х² - 9).

Первую дробь сократим на (х + 3). В числителе второй дроби вынесем за скобку общий множитель (-4). Знаменатель второй дроби разложим на множители по формуле а² - в² = (а - в) (а + в), где а = х, в = 3.

(х - 4) / (х + 3) - 4 (х - 3) / ((х - 3) (х + 3)).

Вторую дробь сократим на (х - 3).

(х - 4) / (х + 3) - 4 / (х + 3) = (х - 4 - 4) / (х + 3) = (х - 8) / (х + 3).