В корзине лежат 50 разноцветных шариков. Докажите что среди них найдется либо 8 шариков одного цвета, либо 8 шариков разных цветов.

В этой задаче требуется доказать, что если в корзине лежат 50 разноцветных шариков, то среди них найдется либо 8 шариков одного цвета, либо 8 шариков разных цветов.

Какие шарики могут оказаться в корзине

Рассмотрим, какие могут быть варианты по цветам шариков в корзине:

Есть 8 шариков одного цвета; Есть 8 шариков разных цветов; Нет ни 8-ми шариков одного цвета, ни 8-ми шариков разных цветов.

Рассмотрим третий вариант.

Предположение о цветах шариков

Сделаем предположение, что в корзине нет ни 8-ми шариков одного цвета, ни 8-ми шариков разных цветов.

Тогда в корзине может быть не больше семи цветов шариков и не больше, чем по семь шариков каждого цвета, то есть не больше, чем 7 · 7 = 49 шариков, что меньше 50.

У нас в корзине, по условию задачи, имеется 50 шариков. Тогда 50-й шарик должен быть либо одного из имеющихся семи цветов, тогда найдется 8 шариков одного цвета, либо он будет другого цвета, тогда найдется 8 шариков разных цветов.

Значит, доказано, что среди 50 - ти разноцветных шариков обязательно найдется либо 8 шариков одного цвета, либо 8 шариков разных цветов.

Допустим, в корзине 8 или более различных цветов шариков. Значит, всегда можно подобрать 8 шариков различных цветов.

Допустим, в корзине менее 8 различных цветов шариков. Чем меньше различных цветов, тем проще выбрать шарики одинакового цвета. Рассмотрим максимально возможное количество цветов, оно равно 7.

В этом случае, мы можем создать максимально возможную группу шариков из 49 элементов. По 7 шариков на каждый из цветов.

7 * 7 = 49

А по условию задачи, шариков 50, значит 1 шарик обязан повторить один из цветов в котором уже есть 7 шариков и он окажется восьмым.