5. В цехе n моторов, включающихся и выключающихся независимо друг от друга. Вероятность того, что в данный момент мотор окажется выключенным, для всех моторов одинакова и равна 0,1. Определить: а) вероятность того, что в данный момент окажется выключеннымхотя бы один мотор (n=10); б) при каком количестве (n) моторов в цехе вероятность того, что в данный момент окажется выключеннымхотя бы один мотор, будет не более 0,5.

Пусть p - вероятность того, что отдельно взятый мотор выключен. По условию задачи p = 0,1.

Пусть q - вероятность того, что отдельно взятый мотор включен. Найдем значение q.

q = 1 - 0,1 = 0,9.

Вопрос А.

Будем считать, что событие E произойдет, если все десять моторов будут включены.

P (E) = q^10 = 0,9^10 ≈ 0,35.

Противоположное событие Ē произойдет, если как минимум один из десяти моторов будет выключен.

P (Ē) = 1 - P (E) = 1 - 0,35 = 0,65 = 65%.

Итак, искомая вероятность составляет приблизительно 65%.

Вопрос Б.

Будем считать, что событие G произойдет, если все n моторов будут включены.

P (G) = q^n = 0,9^n.

Противоположное событие Ḡ произойдет, если как минимум один из n моторов будет выключен.

P (Ḡ) = 1 - P (G) = 1 - 0,9^n.

Вероятность события Ḡ должна быть не больше 0,5. Составим неравенство.

1 - 0,9^n ⩽ 0,5.

Перенесем 0,9^n в правую часть уравнения, а число 0,5 - в левую.

1 - 0,5 ⩽ 0,9^n;

0,5 ⩽ 0,9^n;

0,9^n ⩾ 0,5.

Для начала решим уравнение.

0,9^n = 0,5;

n = log_0,9 0,5;

n ≈ 6,58.

Вернемся к нашему неравенству. Чем меньше значение n, тем больше значение 0,9^n. Следовательно, n ⩽ 6,58.

Поскольку n - это количество моторов, число n должно быть натуральным. Следовательно, n ⩽ 6.

Итак, в цехе должно быть не более шести моторов, чтобы соблюдалось указанное условие.

Ответ:

а) приблизительно шестьдесят пять процентов;

б) не более шести моторов.