Lg (x-1) ^3-3lg (x-3) = lg8

lg (x - 1) ³ - 3lg (x - 3) = lg8.

Разберем ОДЗ (область допустимых значений):

х - 1 > 0; x > 1.

x - 3 > 0; x > 3.

Общее решение ОДЗ: x > 3.

Избавимся от числа перед вторым логарифмом.

lg (x - 1) ³ - lg (x - 3) ³ = lg8.

По правилу разности логарифмов:

lg ((x - 1) ³ / (x - 3) ³) = lg8.

lg ((x - 1) / (x - 3)) ³ = lg8.

Откидываем логарифмы (основания логарифмов равны).

((x - 1) / (x - 3)) ³ = 8.

Извлекаем корень третьей степени из обеих частей уравнения:

(x - 1) / (x - 3) = 2.

По правилу пропорции:

2 (х - 3) = х - 1.

2 х - 6 = х - 1.

х = 5.

Ответ: корень уравнения равен 5.