Решите уравнение 2cos^2x + 14cos x = 3sin^2x

2cos^2 x + 14cos x = 3sin^2 x - заменим sin^2 x на (1 - cos^2 x), т. к. sin^2 x + cos^2 x = 1;

2cos^2 x + 14cos x = 3 (1 - cos^2 x);

2cos^2 x + 14cos x = 3 - 3cos^2 x;

2cos^2 x + 14cos x - 3 + 3cos^2 x = 0;

5cos^2 x + 14cos x - 3 = 0;

введем новую переменную cos x = y;

5y^2 + 14y - 3 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 14^2 - 4 * 5 * (-3) = 196 + 60 = 256; √D = 16;

x = (-b ± √D) / (2a);

y1 = (-14 + 16) / (2 * 5) = 2/10 = 0,2;

y2 = (-14 - 16) / 10 = - 30/10 = - 3.

Выполним обратную подстановку:

1) cos x = 0,2;

x = ± arccos 0,2 + 2 Пk, k ϵ Z;

2) cos x = - 3 - уравнение не имеет корней, т. к. область значений функции у = cos x равна [-1; 1]. а число 3 не принадлежит данному промежутку.

Ответ. ± arccos 0,2 + 2 Пk, k ϵ Z.