X=tg (arccos (-1/4) + pi/2). Найти x

В задании требуется найти значение тригонометрического выражения x = tg (arccos (-1/4) + π/2). Согласно определения арккосинуса, y = arccosx - это функция, обратная к косинусу (x = cosy), имеющая область определения - 1 ≤ х ≤ 1 и множество значений 0 ≤ у ≤ π. Применяя формулу arccos (-х) = π - arccosх, имеем arccos (-1/4) = π - arccos (1/4). Тогда, получим: x = tg (arccos (-1/4) + π/2) = tg (π - arccos (1/4) + π/2) = tg (3 * π/2 - arccos (1/4)). Применяя формулу приведения tg (3 * π/2 - α) = ctgα, имеем x = ctg (arccos (1/4)). Воспользуемся формулой arccosх = arcctg (x / √ (1 - x²)). Тогда, получим: arccos (1/4) = arcctg[ (1/4) / √ (1 - (1/4) ²) ] = arcctg (1 / √ (15)). Приведём очевидную и напрямую следующую формулу из определения арккотангенса: для любого а ∈ (-∞; ∞) справедливо ctg (arcctg (a)) = a. Следовательно, x = ctg (arcctg (1 / √ (15))) = 1 / √ (15) = √ (15) / 15.

Ответ: tg (arccos (-1/4) + π/2) = √ (15) / 15.