Сумма шестого и девятого члена арифметической прогрессии равна 20, а их произведение равно 64. Найти десятый член этой прогрессии, если первый ее член отрицателен

Пусть дана арифметическая прогрессия, первый член которой: а₁ = х, а разность прогрессии d = у, тогда:

х + у ∙ (6 - 1) = х + 5 ∙ у - формула для определения шестого члена прогрессии;

х + у ∙ (9 - 1) = х + 8 ∙ у - формула для определения девятого члена прогрессии;

х + у ∙ (10 - 1) = х + 9 ∙ у - формула для определения десятого члена прогрессии;

(х + 5 ∙ у) + (х + 8 ∙ у) = 2 ∙ х + 13 ∙ у - сумма шестого и девятого членов арифметической прогрессии;

(х + 5 ∙ у) ∙ (х + 8 ∙ у) = х² + 13 ∙ х ∙ у + 40 ∙ у² - произведение шестого и девятого членов арифметической прогрессии;

Зная, что сумма шестого и девятого члена арифметической прогрессии равна 20, а их произведение равно 64, составляем систему уравнений:

2 ∙ х + 13 ∙ у = 20 и х² + 13 ∙ х ∙ у + 40 ∙ у² = 64;

х = 10 - 6,5 ∙ у;

(10 - 6,5 ∙ у) ² + 13 ∙ (10 - 6,5 ∙ у) ∙ у + 40 ∙ у² - 64 = 0;

9 ∙ у² = 144;

у₁ = - 4; у₂ = 4; тогда

х₁ = 36 - не удовлетворяет условию задачи;

х₂ = - 16, получаем:

- 16 + 9 ∙ 4 = 20 - значение десятого члена прогрессии;

Ответ: 20 - десятый член этой прогрессии, если первый ее член отрицателен.