Определить все a, при каждом из которых неравенство 4sin x + 3cos x больше либо равно a и имеет хотя бы одно решение.

1. Найдем квадратный корень от суммы квадратов коэффициентов двух тригонометрических функций:

4sinx + 3cosx ≥ a;

A = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2; √A = 5.

2. Разделим обе части неравенства на 5 и воспользуемся формулой для синуса суммы двух аргументов:

sin (α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ; 4/5 * sinx + 3/5 * cosx ≥ a/5; cosφ * sinx + sinφ * cosx ≥ a/5; sin (x + φ) ≥ a/5, (1) где

ф = arcsin (3/5) = arccos (4/5).

3. Неравенство (1) имеет решение при условии:

a/5 ≤ 1; a ≤ 5; a ∈ (-∞; 5].

Ответ: (-∞; 5].