докажите, что при любом натуральном n, n (n^2+6n+5) кратно 6

Докажем, что при любом натуральном n выражение

n * (n^2 + 6 * n + 5) делится на 6.

Для этого докажем, что данное выражение всегда делится на 2 и на 3.

Преобразуем данное выражение:

А = n * (n^2 + 6 * n + 5) = n * (n + 1) * (n + 5).

1) Делимость на 2.

Числа n и n + 1 являются последовательными. Следовательно, одно из них является четным и делится на 2. Поэтому А всегда делится на 2.

Делимость на 2 доказана.

2) Делимость на 3.

Возможны 3 варианта при делении n на 3:

a) n = 3 * k, когда n делится на 3 без остатка.

В этом случае, делимость А на 3 очевидна.

b) n = 3 * k + 1, когда n делится на 3 c остатком 1.

Заметим, что n + 5 = 3 * k + 1 + 5 = 3 * (k + 2) делится на 3. Значит, А тоже делится на 3.

c) n = 3 * k + 2, когда n делится на 3 c остатком 2.

Заметим, что n + 1 = 3 * k + 2 + 1 = 3 * (k + 1) делится на 3. Значит, А тоже делится на 3.

Делимость на 3 доказана.